理解了向量和向量組的定義之后，我們考慮向量有哪些運算。

對于矩陣，我們定義了三種運算：加法、數乘、轉置和乘法。這些運算可以應用到向量上得到向量的相應運算。

向量的加法和數乘合起來稱為線性運算。通過線性運算，我們可以定義向量的兩個核心概念：線性表出和線性相關。

1. 線性表出

線性表出，顧名思義，就是用線性的方式表示出來。何為“線性的方式”，怎么表示出來的？我們看一個例子，對于向量組（1 0），（0 1）和向量（2 3），（2 3）如何用前兩個向量構成的向量組表示？不難發現是（2 3）=2乘（1 0）+3乘（0 1）。大家看，等式的右端只有線性運算（加法和數乘），這就是前面提到的“線性的方式”。這樣我們稱向量（2 3）可以由向量組（1 0），（0 1）線性表出。注意到等號右面的式子是用線性的方式把向量（1 0），（0 1）組合起來了，所以我們稱之為（1 0），（0 1）的一個線性組合。

這樣我們就對線性組合及線性表出的概念有了個基本認識。這樣是否就夠了呢？當然不夠。我們在學馬克思主義哲學時有“由感性認識上升到理性認識”之說。理性認識更深刻，是對事物本質的把握。盡管感性認識、理性認識用在這里未必恰當，但道理是相通的。我們通過例子對概念的理解很難說把握住了概念的本質。要體會其本質，還是要從嚴格的定義出發。

這里要提醒廣大考生：對于考研數學中的一些較難理解的概念，有同學覺得定義太抽象，進而放棄了對定義的理解，而試圖通過具體的例子理解概念。覺得弄懂了例子，概念就算是理解了。這是不可靠的。從學知識的角度，弄懂例子談不上理解了概念的內涵和外延；從考試的角度，考試考查的是考生對概念的理解和運用，某個具體的例子只是一種具體的應用，所以離考試要求有距離。

下面我們看一下線性組合和線性表出的定義：

對于任意一組實數k1，k2，…，kn，稱k1乘alfa1+ k2乘alfa2+…+ kn乘alfan為向量組alfa1，alfa2，…，alfan的一個線性組合。

注意到對于同一個向量組，給定一組實數，則得到一個線性組合，可見一個向量組的線性組合有無窮多個。

若向量beta能寫成alfa1，alfa2，…，alfan的一個線性組合，則稱向量beta能由向量組alfa1，alfa2，…，alfan線性表出。

關于線性表出的定義需注意以下幾點：

（1）實數k1，k2，…，kn（或稱組合系數）可以全為零，這和線性相關的定義不同。

（2）零向量可以由任何同維的向量組線性表出（把實數k1，k2，…，kn取成全為零即可）。

（3）向量組里任何一個向量可由向量組線性表出（把該向量對應的實數取成1，其余實數取成零即可）。

討論完線性表出這個核心概念后，我們來討論向量部分另一個核心概念：線性相關。

我們先看一個例子：

向量組I：（1 0），（0 1），（2 3）；向量組II：（1 0），（0 1）。

我們觀察向量組I，不難發現（2 3）可由其余向量（1 0），（0 1）線性表出：（2 3）=2乘（1 0）+3乘（0 1）。也可以不太嚴格地理解成（2 3）為“冗余”向量（它的功能能由其余向量代替）。當然，該等式也能等價變形為2乘（1 0）+3乘（0 1）+（-1）乘（2 3）=（0 0），也就是能找到不全為零的數2,3，-1把向量組I組合成零向量。我們把這種向量組稱為線性相關的向量組。有三個理解角度：1）存在不全為零的數將其組合起來構成零向量（即定義）；2）至少存在一個向量能由其余向量線性表出（對應一個定理）；3）向量組中有冗余向量（“樸素的理解方式”）。

再觀察向量組II，發現其情況與向量組I正好相反。我們也可以從三個角度理解它：1）不存在不全為零的數將其組合起來構成零向量；2）不存在任何一個向量能由其余向量線性表出；3）向量組中沒有冗余向量。另外，第1）點還可以等價地描述成：若用實數將向量組合起來使其為零向量，則這組實數必全為零。我們把這種向量組II這種類型的向量組稱為線性無關的向量組。線性無關是和線性相關相對應的一個概念。

通過對上面這個小例子的分析，我們對線性相關和線性無關這兩個概念有了基本認識。要想有更深刻的認識，我們需要深入探究其定義。這時可能有同學耐不住性子了：說了半天概念，這和咱們最終要討論的向量組的秩有什么關系？印象里有個“極大線性無關組”的概念還沒說？另外，矩陣的秩和向量組的秩有什么關系？秩有哪些應用？這些東西都沒說呢！別急，羅馬不是一天建成的。指望三篇文章把線性代數最難的兩個概念徹底談清楚還是要求有點高的。