考研數學：尋根究底之隨機變量篇
[摘要] 隨機變量之于概率正如矩陣之于線代：矩陣是線性代數的活動基地，線代的核心概念基本上都是用矩陣定義的；而隨機變量則是概率統(tǒng)計的活動基地，概率統(tǒng)計的重要概念均以隨機變量為載體展開。
尋根究底之隨機變量篇（一）
普研數學中概率共五題。如果有時間，看看真題，會發(fā)現題目是這么表述的：“設隨機變量X…”，“設總體X…”，“設樣本X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本…”。可見考研數學概率部分是以隨機變量為載體出題的；另外，隨機變量之于概率正如矩陣之于線代：矩陣是線性代數的活動基地，線代的核心概念基本上都是用矩陣定義的；而隨機變量則是概率統(tǒng)計的活動基地，概率統(tǒng)計的重要概念均以隨機變量為載體展開。
隨機變量，顧名思義，就是具有隨機性的變量。什么叫有隨機性？劉老師將帶領大家從隨機試驗開始看起。
所謂隨機試驗，就是具有如下特征的試驗：“可重復”，“結果不唯一”，“無法預知”（試驗前無法預知哪種結果出現）。如擲硬幣，擲骰子。對于某個隨機試驗，我們把其結果收集起來構成一個集合，這就構成了該試驗的樣本空間。而樣本空間的子集就是隨機事件。所以隨機事件即某些試驗結果構成的集合。概率第一章的基本概念：樣本空間、隨機事件、必然事件、不可能事件、基本事件，均可以理解成特殊的集合（由隨機試驗的結果構成的集合）：全集、子集、全集、空集、單點集。
隨機變量是定義在樣本空間上的單值函數。例如對于擲硬幣這個隨機試驗，其樣本空間為{正，反}，我們可以在這個樣本空間上定義一個隨機變量：X（正）=1，X（反）=0。
關于隨機變量的概念，我們不妨多思考一下，以增進和它的關系。套用一句廣告詞：你怎么對待隨機變量，隨機變量就怎么對待你。請思考如下幾個問題：
1. 隨機變量是個函數，這個函數是不是高數中的函數？
不少同學沒有思考過這個問題，那就錯過了深入理解隨機變量的機會。高數中的函數是什么樣子的？起碼定義域是實數集或實數集的子集。而隨機變量的定義域是樣本空間。這說明二者是不同類型的函數。什么？函數還有不同類型？有這種疑惑的同學很可能沒有好好看教材，在同濟六版高數教材第6頁，有一小段話，較為透徹地解答了該問題。大家可以通過翻書或聽我嘮叨幾句這兩種方式解決這個問題。ready？go！映射是兩個集合A，B之間的對應關系，考慮非空集合A、B，對于集合A中的任一元素，若集合B中有唯一確定的元素與之對應，我們就把這種對應關系稱為從A到B的映射。如果集合A、B均為實數集或其子集，我們把這個映射稱為函數。如果定義域為一個一般的集合（非實數集或其子集），那么我們把這種映射稱為泛函（泛函字面意思為廣義的函數）。理解了這些概念后，我們再來看隨機變量，不難發(fā)現它原來是個泛函（怪不得不好理解呢）。泛函的知識考研不要求，不必深究。
2. 隨機變量能否表示隨機事件？
這個問題也有不少同學感到困惑。我們以上面定義的這個隨機變量為例，{X=1}是個隨機事件嗎？是。可以有兩個理解角度：其一，它可以寫成{X=1}={e|X（e）=1}={正}，這是一種反對應：由函數因變量的取值反對應自變量的取值。大家可以體會一下如何用隨機變量表示隨機事件；其二，X有兩種可能的取值0，1，并且以一定的概率取每個值，而可以考慮概率的事件自然是隨機事件了。所以以后見到一個隨機變量，我們不一定要弄清它是如何定義的（有時這是困難的），只要我們能分析出這個變量有若干種可能的取值，取每個值有相應的概率即可認可其為隨機變量，進行下一步分析即可。
類似地，{X<=1}也是隨機事件。而且這種方式表示的隨機事件有重要應用。正如深挖群眾提供的貪腐線索有可能揪出大老虎，深入理解基本概念可能會有意想不到的收獲。由{X<=1}為隨機事件，不難得到{X<=a}亦為隨機事件（其中a為給定的實數）。進一步，{X<=x}是隨機事件嗎（x為變量，且不具有隨機性）？給定x，{X<=x}為一個隨機事件；若給定不同的x，就得到不同的隨機事件。如果x的取值范圍是全體實數，我們就得到了一系列的隨機事件。而每個隨機事件又可以與一個概率對應。這樣，對于每個x，有唯一確定的實數與其對應，這就確定了函數關系。這個函數是與X有關的，我們稱其為X的分布函數。是不是有點意外的收獲？
走筆至此，我忍不住要說兩句“形而上”的東西。為什么有同學感覺課上聽懂了，課下卻不會做題？一個重要的原因是上課是學生跟著老師的思路走，缺少主動探索和“試錯”。我們碰到一道題就像路過一個十字路口，有前后左右四個方向可選，而最終我們會選擇其中一個方向走下去。那為什么要選這個方向？很多時候，我們要用主動的試錯去減少可能性，用試錯去建立自己的經驗系統(tǒng)，進而依據經驗系統(tǒng)做決策。而這種試錯最好在平時完成（在考場上試錯就“悲劇”了）。
3. 為什么要引入隨機變量？
隨機變量是把隨機試驗的結果與實數對應起來，方便用數學工具處理。沒有隨機變量的狀態(tài)，我們已經見識過了，就在概率的第一章。我們可以考慮隨機事件，但每次說起來和寫起來都不方便：事件中的元素可能是“正”和“反”，也可能是“1點”和“6點”，還可能是“中”和“不中”；相應地算概率可能是P{“正”},可能是P{“擲出偶數點”}，還可能是P{“獨立重復地射擊10次，擊中k次”}。而有了隨機變量后，整個概率的世界就不同了：可以用P{X=1}表示擲硬幣朝上的面為正面，表示擲骰子擲出偶數點，還可以表示射擊命中，只需要修改隨機變量X的定義即可；此外，我們可以進一步定義X的分布函數，那么高等數學就可以作為一個工具來為概率統(tǒng)計服務了，比如求極限，求導這些基本計算可以對分布函數進行。
尋根究底之隨機變量篇（二）
在弄清了隨機變量的含義后，我們思考一個問題：用什么方式去描述它？隨機變量有兩個要素：取值和取值對應的概率。而分布是描述隨機變量的方式。分布包括三種：分布函數，分布律和概率密度。為什么要有三種，這么麻煩，一種多簡單？這就像現金可以完成支付，為什么還會有公交卡？因為我們坐公交時刷卡更方便些。分布函數確實可以描述所有隨機變量，但對于離散型隨機變量，用分布律描述較為方便；對于連續(xù)型隨機變量，用概率密度描述較為方便。
分布函數是描述隨機變量的通用方式。對于隨機變量X，我們稱F（x）=P{X<=x}，（x屬于R）為其分布函數。關于分布函數，前文我們討論過一種理解角度，此外，我們還可以從以下幾個角度理解。
1.F（x）=P{X<=x}= P{X屬于（負無窮，x]}，意味著X的分布函數F（x）是隨機變量X落入區(qū)間（負無窮，x]的概率。
2.對于上面用擲硬幣這個隨機試驗定義的隨機變量X，大家動手寫一下它的分布函數，不難得到如下結果：當x<0時，F（x）=0；當0=
3.隨機變量X不是高數中的函數，那么其分布函數是高數中的函數嗎？是。我們觀察上面寫出的分布函數的表達式和圖像，會發(fā)現它就是一個普通的分段函數，是高數的中的函數。
在討論完隨機變量后，我們討論多維隨機變量。
先考慮一個問題：什么叫多維隨機變量。想一下，咱們在哪個地方提到過“多維”？高數中有二維平面，三維空間。線性代數中向量的維數即向量分量的個數。所謂n維隨機變量，就是一個向量，該向量的每個分量是定義在同一個樣本空間上的隨機變量。或者理解成n個一維隨機變量放在一塊考慮。
我們學習多維隨機變量，要和一維對比起來理解。前面提到，我們是用分布描述一個隨機變量的，分布有三種：分布函數，分布律和概率密度。那么，推廣一下，就得到了二維隨機變量的描述方式。先看分布函數。
一維隨機變量的分布函數是個一元函數F（x），它是一維隨機變量X落入到一個區(qū)間（負無窮，x]的概率；相應地，二維隨機變量的分布函數應是一個二元函數F（x，y），它是二維隨機變量（X,Y）落入一個平面區(qū)域（負無窮，x]乘（負無窮，y]的概率。一維隨機變量的分布函數有三條性質：“單調不減”，“0，1之間”，“右連續(xù)”。那么推廣過來，就得到了二維隨機變量分布函數的性質：關于x關于y均為單調不減；函數值在0，1之間；關于x關于y均為右連續(xù)。理解起來也不困難：所謂“關于”，就是把一個變量固定讓另一個變量變化；分布函數是一個概率，當然在0，1之間，這里與一維有所不同（F（負無窮，y）= F（x，負無窮）=0），只需注意到定義中的逗號是“且”的意思。最后一條性質可以結合圖像理解，考得不多。
仍有一個問題：一維隨機變量的分布函數的三條性質是充要條件，那么二維隨機變量的分布函數的這四條性質是充要條件嗎？這個考試不要求。當然，其它類似理解：如F（x）是一維隨機變量的通用描述方式，每個隨機變量均可對應一個分布函數；相應地，F（x，y）是二維隨機變量的通用描述方式，每個二維隨機變量均可對應一個分布函數。
理解了二維分布函數的定義和描述方式后，我們看看二維隨機變量的類型。回顧一下一維隨機變量有哪些類型？離散和連續(xù)。推廣一下，可以得到二維離散型和連續(xù)型隨機變量。
什么是一維離散型隨機變量？無非是取值為有限或者可列無限個的隨機變量。類似的，二維隨機變量，若其取值是有限或可列無窮對，則稱其為二維離散型隨機變量。并且二維離散型隨機變量的描述方式與一維一致，也是寫出所有可能的取值，寫出取值對應的概率即可。差別在于二維的取值是實數對，而一維是實數。
類似地，我們可以得到二維連續(xù)型隨機變量的定義及性質。
二維隨機變量的分布函數、分布律和概率密度統(tǒng)稱聯(lián)合分布。
尋根究底之隨機變量篇（三）
多維分布包括三種：聯(lián)合，邊緣，條件。后兩種是多維變量獨有的分布。我們先從邊緣分布看起。先總體把握一下：X,Y放在一塊構成一個向量（X,Y），其分布稱為聯(lián)合分布，而X自己作為隨機變量，其分布稱為（X,Y）關于X的邊緣分布。當然分布包括三種：分布函數，分布律和概率密度。前面加上邊緣，就得到三種邊緣分布。何為（X,Y）關于X的邊緣分布函數FX（x）？把握兩點即可：一、隨機變量自己的分布函數；二、它和聯(lián)合分布函數的關系：對比FX（x）和F（x，y）的定義，我們發(fā)現前者不含y，如何把F（x，y）中的y變沒呢？注意到F（x，y）=P{X<=x, Y<=y}中的“X<=x”和“Y<=y”為兩個事件，如果我們令y趨于正無窮，則“Y<=正無窮”為必然事件，那么F（x，正無窮）=P{X<=x, Y<=正無窮}= P{X<=x }。如果我們已知X和Y的聯(lián)合分布函數，要求關于一個隨機變量的邊緣分布函數，只需求極限即可（令一個變量趨于正無窮）。
弄明白邊緣分布函數后，邊緣分布律和邊緣概率密度就是類似的了。關于邊緣分布律，也是把握兩點：一、（X,Y）二維離散型隨機變量，X自己是一維離散型隨機變量，它自己應有分布律，我們把這個分布律稱為（X,Y）關于X的邊緣分布律。二、邊緣分布律和聯(lián)合分布律的關系。（X,Y）關于X的邊緣分布律P{X=xi}=pi（i=1,2，…）中不含j，意味著P{X=xi}=pi對所有的j都成立。故P{X=xi}= P{X=xi,Y=y1}+ P{X=xi,Y=y2}+…也就是說，如果我們知道了聯(lián)合分布律，要求邊緣分布律，做加法即可。反過來，如果我們已知邊緣分布律，要求聯(lián)合分布律。首先要有“已知邊緣求聯(lián)合”的意識，之后我們可以把聯(lián)合分布律的表畫出來，并把邊緣分布律寫在一邊，再結合已知條件，不難把聯(lián)合分布律的表填完整。對于二維離散型隨機變量，其分布問題關鍵是寫出聯(lián)合分布律，求邊緣分布律即做加法，求條件分布律做除法即可。
根據離散和連續(xù)的對應關系，我們不難得到邊緣概率密度。其概念也是把握兩點：一、（X,Y）關于X的邊緣概率密度其實就是隨機變量X自己的概率密度，這是一維隨機變量的概率密度，與第二章講的概率密度無區(qū)別，加上邊緣是為了指明它與聯(lián)合概率密度的關系，當然也是為了區(qū)分與二維隨機變量相關的兩個概率密度（聯(lián)合與邊緣）；二、邊緣概率密度與聯(lián)合概率密度是什么關系？我們可以通過離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的對應關系來把握。我們通過對聯(lián)合分布律做加法就得到了邊緣分布律，而積分可以理解為“連續(xù)求和”，所以我們通過對聯(lián)合概率密度求積分可以得到邊緣概率密度。
以上是對邊緣分布的討論，下面我們來看條件分布。首先，考研[微博]范圍內只須考慮條件分布律和條件概率密度，不用管“條件分布函數”。我們以下面的二維離散型隨機變量為例，討論條件分布律。先給出二維隨機變量的聯(lián)合分布律：P{X=0,Y=0}=1/4, P{X=0,Y=1}=1/4, P{X=1,Y=0}=1/2, P{X=1,Y=1}=0。我們考慮下面的概率P{X=0|Y=0}，不難發(fā)現這是一個條件概率，我們按照條件概率的定義寫出來P{X=0|Y=0}=P{X=0，Y=0}/ P{ Y=0}=（1/4）/（1/4+1/2）。那么這是不是條件分布律呢？不是，條件分布律要給出Y=0的條件下，X的所有可能取值及取這些值對應的概率。所以上面的式子只是給出了條件分布律中的一項。意識到這點，我們不難寫出另一個式子P{X=1|Y=0}= P{X=1，Y=0}/ P{ Y=0}=（1/2）/（1/4+1/2）。這兩個式子合起來構成一個完整的分布律，我們稱其為給定Y=0的條件下X的條件分布律。通過這個小例子，我們思考一下：什么是條件分布律？條件分布律是一些條件概率。我們觀察最終結果，不難發(fā)現結果是比值，分子是聯(lián)合分布律中的一項，分母是邊緣分布律中的一項。我們可以簡單地記成：“聯(lián)合/邊緣=條件”。而實際做題過程中，如果我們能寫出聯(lián)合分布律，寫出邊緣分布律就是做加法，而寫條件分布律就是做除法。實際是聯(lián)合分布律中的項占該項所在行（或列）的數字的和的比例。我們把上面討論的內容總結一下，就得到了一般的條件分布律的定義。我們稱P{X=xi|Y=yj}=pij （i=1,2，…）為給定Y=yj的條件下，X的條件分布律。在這個定義式中，要分清哪個指標是固定的，哪個指標是可變的。
條件概率密度可以依據離散和連續(xù)的對應關系來理解。如對于條件分布律，有“聯(lián)合/邊緣=條件”，那么相應地，條件概率密度等于聯(lián)合概率密度除以邊緣概率密度，即fX|Y（x|y）=f（x,y）/ fY（y）。
下面我們對多維分布做一個小結：多維分布分成三個部分：聯(lián)合分布，邊緣分布和條件分布。這三部分基本的要求是理解定義和性質，其中聯(lián)合分布函數有四條性質，前三條由一維分布函數推廣而來，第四條性質通過畫圖理解；聯(lián)合分布律和聯(lián)合概率密度的性質（非負性和歸一性）可作為充要條件；邊緣分布函數，分布律和概率密度其實是一維分布，自然滿足一維分布的性質；條件分布律和條件概率密度也滿足非負性和歸一性。多維分布這部分內容對應考研數學兩道大題：多維分布的計算和求隨機變量函數的分布。有了對基本概念的透徹理解，掌握相應的方法就水到渠成了。
