有關(guān)中值定理的證明問題是歷年出題的一個熱點，將中值定理和介值定理或積分中值定理結(jié)合命題是比較常見的命題形式。首先復(fù)習(xí)一下各大定理：

1、介值定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值f（a）=A及f（b）=B，那么對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點ξ使得f（ξ）=C（a<ξ

Ps:c是介于A、B之間的，結(jié)論中的ξ取開區(qū)間。

介值定理的推論：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f（x）在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,則必存在ξ∈[a,b],使得f（ξ）=C。

2、零點定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，即f（a）。f（b）<0,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點ξ使得f（ξ）=0.

Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點函數(shù)值異號，結(jié)論是開區(qū)間存在點使函數(shù)值為0.

3、羅爾定理：如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）、在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；

（3）、在區(qū)間端點處函數(shù)值相等，即f（a）=f（b）。

那么在（a,b）內(nèi)至少有一點ξ（a<ξ

PS：在用羅爾定理時，關(guān)鍵是找出輔助函數(shù)，且結(jié)論成立前提為開區(qū)間內(nèi)取值

4、拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）、在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；

那么在（a,b）內(nèi)至少有一點ξ（a<ξ

5、柯西中值定理：如果函數(shù)f（x）及g（x）滿足

（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）、在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；

（3）、對任一x（a

那么在（a,b）內(nèi)至少存在一點ξ，使[f（b）-f（a）]/[g（b）-g（a）]=f`（ξ）/g`（ξ）

Ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理結(jié)論都是開開區(qū)間內(nèi)取值。

題設(shè)或證明結(jié)論中含有一般的a,b,f（a），f（b）時，經(jīng)常可考慮直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理證明。

對于“存在兩個點”的問題，一般先用一次拉格朗日中值定理（或柯西中值定理），然后再用一次柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）。

6、積分中值定理：若函數(shù)f（x）在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點ξ（a≤ξ≤b）使

Ps：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立，如果想在開區(qū)間內(nèi)使用，我們便構(gòu)造該函數(shù)，運用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區(qū)間內(nèi)成立即可。千萬不可直接運用。

通過上面對各個定理的簡單介紹，可以看出“恰當(dāng)構(gòu)造輔助函數(shù)”成為靈活運用中值定理的關(guān)鍵。下面將介紹幾種常見的輔助函數(shù)構(gòu)造方法：

1、原函數(shù)法：先將ξ化為x，然后將式子恒等變形以便于積分，按照常微分方程求解后，所得式子F（x,f（x））=C,則F（x,f（x））即為所需的輔助函數(shù)。

2、常數(shù)比值法：它適用于常數(shù)已分離的命題。

3、觀察要證明的結(jié)論形式，如果與以下等式的右邊式子較為類似，則往往可以直接寫出輔助函數(shù)：